Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{5} 2^{n - 2}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Setze $a_{n}$ und $a_{n + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{2^{n + 1 - 2}}{2^{n - 2}}$

Vereinfache.

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Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{n + 1 - 2}$ und $2^{n - 2}$ .

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Faktorisiere $2^{n - 2}$ aus $2^{n + 1 - 2}$ heraus.

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2}}$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2} \cdot 1}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2} \cdot 1}$

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{2^{n - 1 - (n - 2)}}{1}$

Dividiere $2^{n - 1 - (n - 2)}$ durch $1$ .

$r = 2^{n - 1 - (n - 2)}$

Vereinfache jeden Term.

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Wende das Distributivgesetz an.

$r = 2^{n - 1 - n - - 2}$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$r = 2^{n - 1 - n + 2}$

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $n - 1 - n + 2$ .

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Subtrahiere $n$ von $n$ .

$r = 2^{0 - 1 + 2}$

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$r = 2^{- 1 + 2}$

Addiere $- 1$ und $2$ .

$r = 2^{1}$

Berechne den Exponenten.

$r = 2$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Setze $1$ für $n$ in $2^{n - 2}$ ein.

$a = 2^{1 - 2}$

Vereinfache.

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Subtrahiere $2$ von $1$ .

$a = 2^{- 1}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a = \frac{1}{2}$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2^{5}}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Vereinfache den Zähler.

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Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 32}{1 - 1 \cdot 2}$

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 32}{1 - 1 \cdot 2}$

Subtrahiere $32$ von $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{1 - 1 \cdot 2}$

Vereinfache den Nenner.

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Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{1 - 2}$

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{- 1}$

Dividiere $- 31$ durch $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 31$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $31$ .

$\frac{31}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{31}{2}$

Dezimalform:

$15.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$15 \frac{1}{2}$