Analysis Beispiele

$x - \ln (x)$

Step 1

Schreibe $x - \ln (x)$ als Funktion.

$f (x) = x - \ln (x)$

Step 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))$

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} \ln (x)$

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x}$

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 1$

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (1)$

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{d}{d x} (1)$

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Addiere $\frac{1}{x^{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Step 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Step 4

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte