Analysis Beispiele

$2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Step 1

Schreibe $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ als Funktion.

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Step 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Bestimme die erste Ableitung.

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Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$f' (θ) = \frac{d}{d θ} (2 \cos (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Berechne $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

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Da $2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (θ)$ nach $θ$ gleich $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$f' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$f' (θ) = 2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Berechne $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

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Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = θ^{2}$ und $g (θ) = \cos (θ)$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (θ)$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Ersetze alle $u$ durch $\cos (θ)$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Stelle die Terme um.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Bestimme die zweite Ableitung.

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Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = \frac{d}{d θ} (- 2 \cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Berechne $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)]$ .

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Da $- 2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ nach $θ$ gleich $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ gleich $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ist mit $f (θ) = \cos (θ)$ und $g (θ) = \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} (\sin (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (θ) = - 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Berechne $\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

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Da $- 2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin (θ)$ nach $θ$ gleich $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \frac{d}{d θ} \sin (θ)$

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Vereinfache.

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Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Die zweite Ableitung von $f (θ)$ nach $θ$ ist $- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Step 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) = 0$ .

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Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) = 0$

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$θ = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Step 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Ersetze $\frac{π}{3}$ in $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $θ$ durch $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{3}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Vereinfache das Ergebnis.

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Vereinfache jeden Term.

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Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{2^{2}}$

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{4}$

Vereinfache den Ausdruck.

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Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 + 1}{4}$

Addiere $4$ und $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ in $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Step 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, \infty)$

Step 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{π}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $θ$ durch $0.94719755$ .

$f'' (0.94719755) = - 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Die endgültige Lösung ist $- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Bei $0.94719755$ , die zweite Ableitung ist $- 0.53195951$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, \frac{π}{3})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{π}{3})$ da $f'' (θ) < 0$

Step 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{π}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $θ$ durch $1.14719755$ .

$f'' (1.14719755) = - 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Die endgültige Lösung ist $- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Bei $1.14719755$ ist die zweite Ableitung $0.50208433$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{π}{3}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{π}{3}, \infty)$ , da $f'' (θ) > 0$

Step 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Step 9