Analysis Beispiele

$f (x) = e^{\sin (x)}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$f' (x) = e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{\sin (x)} \cos (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{\sin (x)}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{\sin (x)} \cos (x)$

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) e^{\sin (x)}$

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) e^{\sin (x)}$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1} e^{\sin (x)}$

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) e^{\sin (x)}$

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - e^{\sin (x)} \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- e^{\sin (x)} \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- e^{\sin (x)} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{\sin (x)} \sin (x)]$ .

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Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{\sin (x)} \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} \sin (x)]$ .

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)]$ .

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$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\sin (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ gleich $a^{u_{3}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\sin (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (e^{\sin (x)} \cos (x))$

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{2} (x) (e^{\sin (x)} \cos (x))$

Multipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Bewege $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos^{2} (x) e^{\sin (x)}$

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ .

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Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos^{2} (x) e^{\sin (x)}$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 2} e^{\sin (x)}$

Addiere $1$ und $2$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

Vereinfache.

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Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x)) - (\sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

Vereine die Terme

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Stelle die Faktoren von $- \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)$ um.

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

Addiere $- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ und $e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x))$ .

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Stelle $e^{\sin (x)}$ und $- 2$ um.

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) - 2 \cdot (e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

Subtrahiere $2 \cdot e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ von $- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ .

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

Stelle die Terme um.

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- e^{\sin (x)} \cos (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$ heraus.

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Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- e^{\sin (x)} \cos (x)$ heraus.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)}) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ heraus.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)}) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$ heraus.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)}) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) (- e^{\sin (x)}) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$ heraus.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} - 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) (- e^{\sin (x)} - 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$ heraus.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} - 3 e^{\sin (x)} \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Bewege $e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ .

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

Faktorisiere $- e^{\sin (x)}$ aus $- e^{\sin (x)}$ heraus.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \cdot 1 + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

Faktorisiere $- e^{\sin (x)}$ aus $e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ heraus.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \cdot 1 - e^{\sin (x)} (- 1 \cos^{2} (x)) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

Faktorisiere $- e^{\sin (x)}$ aus $- e^{\sin (x)} (1) - e^{\sin (x)} (- 1 \cos^{2} (x))$ heraus.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} (1 - 1 \cos^{2} (x)) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

Schreibe $- 1 \cos^{2} (x)$ als $- \cos^{2} (x)$ um.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} (1 - \cos^{2} (x)) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \sin^{2} (x)) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f''' (x) = - \cos (x) e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f''' (x) = - \cos (x) e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) e^{\sin (x)} \sin (x)$

Stelle die Faktoren in $- \cos (x) e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) e^{\sin (x)} \sin (x)$ um.

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ .

$- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$