Analysis Beispiele

$f (x) = \sin^{2} (2 x)$

Step 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (2 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (2 x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sin (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = 4 \sin (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 4 \sin (2 x) \cos (2 x) \cdot 1$

Vereinfache den Ausdruck.

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Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 \sin (2 x) \cos (2 x)$

Stelle die Faktoren von $4 \sin (2 x) \cos (2 x)$ um.

$f' (x) = 4 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Step 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \cos (2 x) \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (2 x) \sin (2 x))$

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (2 x)$ und $g (x) = \sin (2 x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 4 ({\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Differenziere.

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Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (2 x) (2 \cdot 1) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos^{2} (2 x)$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cdot \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Potenziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - \sin (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Potenziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - \sin (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} (2 x))$

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} x)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1)$

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x))$

Vereinfache.

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Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x)) + 4 (- 2 \sin^{2} (2 x))$

Vereine die Terme

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Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (x) = 8 \cos^{2} (2 x) + 4 (- 2 \sin^{2} (2 x))$

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f'' (x) = 8 \cos^{2} (2 x) - 8 \sin^{2} (2 x)$

Step 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $8 \cos^{2} (2 x) - 8 \sin^{2} (2 x)$ .

$8 \cos^{2} (2 x) - 8 \sin^{2} (2 x)$