Analysis Beispiele

${(\tan^{-1} (8 x))}^{2}$

Step 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan^{-1} (8 x)$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan^{-1} (8 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (8 x)]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (8 x)]$

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan^{-1} (8 x)$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (8 x)]$

Step 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan^{-1} (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $8 x$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan^{-1} (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])$

Die Ableitung von $\tan^{-1} (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

Ersetze alle $u_{2}$ durch $8 x$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + {(8 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

Step 3

Differenziere.

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Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + {(8 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

Vereinfache den Ausdruck.

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Wende die Produktregel auf $8 (x)$ an.

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + 8^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

Potenziere $8$ mit $2$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + 64 x^{2}} (8 \frac{d}{d x} [x]))$

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{1 + 64 x^{2}}$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \cdot 1)$

Vereinfache den Ausdruck.

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Mutltipliziere $\frac{8}{1 + 64 x^{2}}$ mit $1$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) \frac{8}{1 + 64 x^{2}}$

Stelle die Terme um.

$2 \tan^{-1} (8 x) \frac{8}{64 x^{2} + 1}$

Step 4

Vereine die Terme

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Kombiniere $\frac{8}{64 x^{2} + 1}$ und $2$ .

$\frac{8 \cdot 2}{64 x^{2} + 1} \tan^{-1} (8 x)$

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{16}{64 x^{2} + 1} \tan^{-1} (8 x)$

Kombiniere $\frac{16}{64 x^{2} + 1}$ und $\tan^{-1} (8 x)$ .

$\frac{16 \tan^{-1} (8 x)}{64 x^{2} + 1}$