Analysis Beispiele

$x^{3} \ln (x)$

Step 1

Schreibe $x^{3} \ln (x)$ als Funktion.

$f (x) = x^{3} \ln (x)$

Step 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{3} \ln (x) d x$

Step 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{3}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Step 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$\ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{4}}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Step 6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

Step 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

Step 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Step 9

Vereinfache die Lösung.

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Schreibe $\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ als $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$ um.

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Kombiniere $\frac{\ln (x)}{4}$ und $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C$

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

Step 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{3} \ln (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$