Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (3 x^{5})$

Step 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x^{5}$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{5}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{5}$ .

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

Differenziere.

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Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{5}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (3 \frac{d}{d x} (x^{5}))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (3 (5 x^{4}))$

Vereinfache den Ausdruck.

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Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (15 x^{4})$

Stelle die Faktoren von $\cos (3 x^{5}) (15 x^{4})$ um.

$f' (x) = 15 x^{4} \cos (3 x^{5})$

Step 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x^{4} \cos (3 x^{5})$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (3 x^{5})]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4} \cos (3 x^{5}))$

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \cos (3 x^{5})$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} \frac{d}{d x} (\cos (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x^{5}$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{5}$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (u) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{5}$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Differenziere.

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Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{5}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (3 x^{5}) (3 \frac{d}{d x} (x^{5}))) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 3 \sin (3 x^{5}) \frac{d}{d x} x^{5}) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 3 \sin (3 x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 15 \sin (3 x^{5}) x^{4}) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Bewege $x^{4}$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} x^{4} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 15 (x^{4 + 4} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Addiere $4$ und $4$ .

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

Vereinfache.

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Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5}))) + 15 (\cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

Vereine die Terme

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Mutltipliziere $- 15$ mit $15$ .

$f'' (x) = - 225 (x^{8} (\sin (3 x^{5}))) + 15 (\cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$f'' (x) = - 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 \cos (3 x^{5}) x^{3}$

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$

Step 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$ .

$- 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$