Analysis Beispiele

$f (x) = 3 \ln (x)$

Step 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \ln (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{1}{x})$

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{3}{x}$

Step 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 3 (- x^{- 2})$

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = - 3 x^{- 2}$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{1}{x^{2}}$

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 3}{x^{2}}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{3}{x^{2}}$

Step 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{3}{x^{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{2}}$