Analysis Beispiele

$\frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Step 1

Schreibe $\frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Step 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)} d x$

Step 4

Vereinfache.

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Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} d x$

Separiere Brüche.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x$

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot (x) d x$

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\int \csc (x) \cot (x) d x$

Step 5

Da die Ableitung von $- \csc (x)$ gleich $\csc (x) \cot (x)$ ist, ist das Integral von $\csc (x) \cot (x)$ gleich $- \csc (x)$ .

$- \csc (x) + C$

Step 6

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $- \csc (x) + C$