Analysis Beispiele

$f (x) = \cot (x)$

Step 1

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$f' (x) = - \csc^{2} (x)$

Step 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \csc^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \csc^{2} (x)$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\csc (x)$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - (2 u \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

Ersetze alle $u$ durch $\csc (x)$ .

$f'' (x) = - (2 \csc (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = - 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\csc (x) \csc (x)) \cot (x)$

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\csc (x) \csc (x)) \cot (x)$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Step 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \cot (x)$