Analysis Beispiele

$y = e^{2 x} \cos (x)$

Step 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{2 x}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = e^{2 x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f' (x) = e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f' (x) = e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f' (x) = e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

Differenziere.

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Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Vereinfache den Ausdruck.

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Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} \cdot 2)$

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$f' (x) = e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \cdot e^{2 x})$

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - e^{2 x} \sin (x) + 2 e^{2 x} \cos (x)$

Step 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- e^{2 x} \sin (x) + 2 e^{2 x} \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- e^{2 x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x} \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{2 x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{2 x} \sin (x)]$ .

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Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{2 x} \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{2 x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{2 x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

$f'' (x) = - (e^{2 x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{2 x} \cdot 2)) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} \cos (x)]$ .

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Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{2 x} \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x} \cos (x)]$ .

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x} \cos (x))$

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{2 x}))$

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{2 x}))$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (2 x)))$

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)))$

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} \cdot 2))$

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 e^{2 x}))$

Vereinfache.

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Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x)) - (\sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 e^{2 x}))$

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x)) - (\sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) (2 e^{2 x}))$

Vereine die Terme

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Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - e^{2 x} \cos (x) - 2 (\sin (x) (e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) (2 e^{2 x}))$

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - e^{2 x} \cos (x) - 2 \sin (x) e^{2 x} - 2 (e^{2 x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) (2 e^{2 x}))$

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - e^{2 x} \cos (x) - 2 \sin (x) e^{2 x} - 2 e^{2 x} \sin (x) + 4 (\cos (x) (e^{2 x}))$

Subtrahiere $2 e^{2 x} \sin (x)$ von $- 2 \sin (x) e^{2 x}$ .

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Bewege $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - e^{2 x} \cos (x) - 2 e^{2 x} \sin (x) - 2 e^{2 x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{2 x}$

Subtrahiere $2 e^{2 x} \sin (x)$ von $- 2 e^{2 x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = - e^{2 x} \cos (x) - 4 e^{2 x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{2 x}$

Addiere $- e^{2 x} \cos (x)$ und $4 \cos (x) e^{2 x}$ .

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Bewege $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - e^{2 x} \cos (x) + 4 e^{2 x} \cos (x) - 4 e^{2 x} \sin (x)$

Addiere $- e^{2 x} \cos (x)$ und $4 e^{2 x} \cos (x)$ .

$f'' (x) = 3 e^{2 x} \cos (x) - 4 e^{2 x} \sin (x)$