Analysis Beispiele

$x^{2} \cos (x)$

Step 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)$

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$

Step 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

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Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2} \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ .

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Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (x \cos (x))$

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Vereinfache.

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Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

Vereine die Terme

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Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 (\sin (x) (x)) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x - 2 (x (\sin (x))) + 2 \cos (x)$

Subtrahiere $2 x \sin (x)$ von $- 2 \sin (x) x$ .

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Bewege $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Subtrahiere $2 x \sin (x)$ von $- 2 x \sin (x)$ .

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 4 x \sin (x) + 2 \cos (x)$