Analysis Beispiele

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$

Step 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x) \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sin (x) \cos (x))$

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = 2 (\sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (- (\sin (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (- (\sin (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Vereinfache.

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Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Step 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]$ .

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Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin^{2} (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

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Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

Vereine die Terme

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Stelle die Faktoren von $- 4 \sin (x) \cos (x)$ um.

$f'' (x) = - 4 \cos (x) \sin (x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

Subtrahiere $4 \cos (x) \sin (x)$ von $- 4 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 8 \cos (x) \sin (x)$