Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Step 1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Mutltipliziere $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Step 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Setze den Zähler gleich Null.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (π - 0)$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = 2 π$

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Step 3

Der Punkt, der durch Einsetzen von in $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ ermittelt werden kann, ist $(,)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(,)$

Step 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Step 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty,)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (\frac{- 0.1}{2})}{4}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

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Dividiere $- 0.1$ durch $2$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (- 0.05)}{4}$

Berechne $\sin (- 0.05)$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 0.04997916}{4}$

Vereinfache den Ausdruck.

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Dividiere $- 0.04997916$ durch $4$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.01249479$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

Die endgültige Lösung ist $0.01249479$ .

$0.01249479$

Bei $- 0.1$ ist die zweite Ableitung $0.01249479$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty,)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty,)$ , da $f'' (x) > 0$

Step 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (\frac{0.1}{2})}{4}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Dividiere $0.1$ durch $2$ .

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (0.05)}{4}$

Berechne $\sin (0.05)$ .

$f'' (0.1) = - \frac{0.04997916}{4}$

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Dividiere $0.04997916$ durch $4$ .

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.01249479$

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.01249479$ .

$f'' (0.1) = - 0.01249479$

Die endgültige Lösung ist $- 0.01249479$ .

$- 0.01249479$

Bei $0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.01249479$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(, \infty)$

Abfallend im Intervall $(, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Step 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(,)$ .

$(,)$

Step 8