Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{4} - 24 x^{2} + 108}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{4} - 24 x^{2} + 108}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{4} - 24 x^{2} + 108 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 24 u + 108 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $u^{2} - 24 u + 108$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $108$ und deren Summe $- 24$ ist.

$- 18, - 6$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 18) (u - 6) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 18 = 0$

$u - 6 = 0$

Schritt 2.4

Setze $u - 18$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $u - 18$ gleich $0$ .

$u - 18 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 18$

Schritt 2.5

Setze $u - 6$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $u - 6$ gleich $0$ .

$u - 6 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 6$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 18) (u - 6) = 0$ wahr machen.

$u = 18, 6$

Schritt 2.7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 18$

${(x^{2})}^{1} = 6$

Schritt 2.8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 18$

Schritt 2.9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{18}$

Schritt 2.9.2

Vereinfache $\pm \sqrt{18}$ .

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Schritt 2.9.2.1

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.9.2.1.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$x = \pm \sqrt{9 (2)}$

Schritt 2.9.2.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Schritt 2.9.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 3 \sqrt{2}$

Schritt 2.9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 \sqrt{2}$

Schritt 2.9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 \sqrt{2}$

Schritt 2.9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}$

Schritt 2.10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 6$

Schritt 2.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 6$

Schritt 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

Schritt 2.11.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.11.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{6}$

Schritt 2.11.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{6}$

Schritt 2.11.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Schritt 2.12

Die Lösung von $x^{4} - 24 x^{2} + 108 = 0$ ist $x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$ .

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3 \sqrt{2}) \cup (- 3 \sqrt{2}, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3 \sqrt{2}) \cup (3 \sqrt{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1.39979505] \cup [- 0.04464939, \frac{1}{27}] \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \leq - 1.39979505, - 0.04464939 \leq y \leq \frac{1}{27}, y > 1}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 3 \sqrt{2}) \cup (- 3 \sqrt{2}, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3 \sqrt{2}) \cup (3 \sqrt{2}, \infty), {x | x \neq \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}}$

Wertebereich: $(- \infty, - 1.39979505] \cup [- 0.04464939, \frac{1}{27}] \cup (1, \infty), {y | y \leq - 1.39979505, - 0.04464939 \leq y \leq \frac{1}{27}, y > 1}$

Schritt 6