Analysis Beispiele

$f (x) = 7 - x^{2}$

Step 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Step 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1$

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2$

Step 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 2 x = 0$

Step 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (7) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} x^{2}$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - (2 x)$

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 2 x$

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$f' (x) = - 2 x$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 x$ .

$- 2 x$

Step 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 x = 0$ .

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Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 2 x = 0$

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = 0$ durch $- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = 0$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Vereinfache die linke Seite.

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Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$x = 0$

Step 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Step 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Step 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2$

Step 9

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Step 10

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 7 - {(0)}^{2}$

Vereinfache das Ergebnis.

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Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 7 - 0$

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 7 + 0$

Addiere $7$ und $0$ .

$f (0) = 7$

Die endgültige Lösung ist $7$ .

$y = 7$

Step 11

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 7 - x^{2}$ .

$(0, 7)$ ist ein lokales Maximum

Step 12