Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \ln (x^{2} + 100) - \ln (x)$

Step 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \ln (x^{2} + 100) - lim_{x \to 8} \ln (x)$

Step 2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln (lim_{x \to 8} x^{2} + 100) - lim_{x \to 8} \ln (x)$

Step 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\ln (lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 100) - lim_{x \to 8} \ln (x)$

Step 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 100) - lim_{x \to 8} \ln (x)$

Step 5

Berechne den Grenzwert von $100$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 100) - lim_{x \to 8} \ln (x)$

Step 6

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 100) - \ln (lim_{x \to 8} x)$

Step 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\ln (8^{2} + 100) - \ln (lim_{x \to 8} x)$

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\ln (8^{2} + 100) - \ln (8)$

Step 8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{8^{2} + 100}{8})$

Vereinfache den Zähler.

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Potenziere $8$ mit $2$ .

$\ln (\frac{64 + 100}{8})$

Addiere $64$ und $100$ .

$\ln (\frac{164}{8})$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $164$ und $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $4$ aus $164$ heraus.

$\ln (\frac{4 (41)}{8})$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\ln (\frac{4 \cdot 41}{4 \cdot 2})$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{4 \cdot 41}{4 \cdot 2})$

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{41}{2})$

Step 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (\frac{41}{2})$

Dezimalform:

$3.02042488 \dots$