Analysis Beispiele

$x^{\cos (2 x)}$

Step 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schreibe $x^{\cos (2 x)}$ als $e^{\ln (x^{\cos (2 x)})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\cos (2 x)})}]$

Zerlege $\ln (x^{\cos (2 x)})$ durch Herausziehen von $\cos (2 x)$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (2 x) \ln (x)}]$

Step 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \cos (2 x) \ln (x)$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (2 x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (2 x) \ln (x)$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$

Step 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (2 x)$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Step 4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Step 5

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Step 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Step 7

Differenziere.

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Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1))$

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x)))$

Step 8

Vereinfache.

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Wende das Distributivgesetz an.

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} \frac{\cos (2 x)}{x} + e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x)))$

Kombiniere $e^{\cos (2 x) \ln (x)}$ und $\frac{\cos (2 x)}{x}$ .

$\frac{e^{\cos (2 x) \ln (x)} \cos (2 x)}{x} + e^{\cos (2 x) \ln (x)} \ln (x) (- 2 \sin (2 x))$

Stelle die Terme um.

$- 2 e^{\cos (2 x) \ln (x)} \sin (2 x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (2 x) \ln (x)} \cos (2 x)}{x}$