Analysis Beispiele

$2 \sin^{2} (1 + x)$

Step 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin^{2} (1 + x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (1 + x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (1 + x)]$

Step 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (1 + x)$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (1 + x)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (1 + x)])$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (1 + x)])$

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (1 + x)$ .

$2 (2 \sin (1 + x) \frac{d}{d x} [\sin (1 + x)])$

Step 3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (\sin (1 + x) \frac{d}{d x} [\sin (1 + x)])$

Step 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 1 + x$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 + x$ .

$4 \sin (1 + x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + x])$

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$4 \sin (1 + x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 + x])$

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + x$ .

$4 \sin (1 + x) (\cos (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x])$

Step 5

Differenziere.

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Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin (1 + x) \cos (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \sin (1 + x) \cos (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin (1 + x) \cos (1 + x) \frac{d}{d x} [x]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \sin (1 + x) \cos (1 + x) \cdot 1$

Vereinfache den Ausdruck.

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Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 \sin (1 + x) \cos (1 + x)$

Stelle die Faktoren von $4 \sin (1 + x) \cos (1 + x)$ um.

$4 \cos (1 + x) \sin (1 + x)$