Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

Step 1

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 π$

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0 u_{upper} = 2 π$

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Step 2

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Step 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Step 4

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Step 5

Berechne $\sin (u)$ bei $2 π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

Step 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)$

Addiere $\sin (2 π)$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 π)$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 π)$ .

$\frac{\sin (2 π)}{2}$

Step 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{\sin (0)}{2}$

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{2}$

Dividiere $0$ durch $2$ .

$0$