Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{4} + 6 x^{3}$

Step 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

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Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} + 6 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{3}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 6 (3 x^{2})$

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 18 x^{2}$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2}$

Step 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$ .

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Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $12 x^{3} + 18 x^{2}$ heraus.

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Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $12 x^{3}$ heraus.

$6 x^{2} (2 x) + 18 x^{2} = 0$

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $18 x^{2}$ heraus.

$6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3) = 0$

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3)$ heraus.

$6 x^{2} (2 x + 3) = 0$

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Setze $2 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Setze $2 x + 3$ gleich $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Löse $2 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 3$

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Vereinfache die linke Seite.

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Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Vereinfache die rechte Seite.

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Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{2}$

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 x^{2} (2 x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Step 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, - \frac{3}{2}$ .

$0, - \frac{3}{2}$

Step 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{3}{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.5$ .

$f' (- 2.5) = 12 {(- 2.5)}^{3} + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Vereinfache das Ergebnis.

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Vereinfache jeden Term.

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Potenziere $- 2.5$ mit $3$ .

$f' (- 2.5) = 12 \cdot - 15.625 + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Mutltipliziere $12$ mit $- 15.625$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Potenziere $- 2.5$ mit $2$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 18 \cdot 6.25$

Mutltipliziere $18$ mit $6.25$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 112.5$

Addiere $- 187.5$ und $112.5$ .

$f' (- 2.5) = - 75$

Die endgültige Lösung ist $- 75$ .

$- 75$

Bei $x = - 2.5$ ist die Ableitung $- 75$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - \frac{3}{2})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{3}{2})$ da $f' (x) < 0$

Step 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1.5, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.75$ .

$f' (- 0.75) = 12 {(- 0.75)}^{3} + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

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Potenziere $- 0.75$ mit $3$ .

$f' (- 0.75) = 12 \cdot - 0.421875 + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Mutltipliziere $12$ mit $- 0.421875$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Potenziere $- 0.75$ mit $2$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 18 \cdot 0.5625$

Mutltipliziere $18$ mit $0.5625$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 10.125$

Addiere $- 5.0625$ und $10.125$ .

$f' (- 0.75) = 5.0625$

Die endgültige Lösung ist $5.0625$ .

$5.0625$

Bei $x = - 0.75$ ist die Ableitung $5.0625$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 1.5, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \frac{3}{2}, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Step 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

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Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 12 \cdot 1 + 18 {(1)}^{2}$

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f' (1) = 12 + 18 {(1)}^{2}$

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 12 + 18 \cdot 1$

Mutltipliziere $18$ mit $1$ .

$f' (1) = 12 + 18$

Addiere $12$ und $18$ .

$f' (1) = 30$

Die endgültige Lösung ist $30$ .

$30$

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $30$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Step 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \frac{3}{2}, 0), (0, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - \frac{3}{2})$

Step 9