Analysis Beispiele

$\log_{a} (x)$

Step 1

Schreibe $\log_{a} (x)$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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The change of base rule can be used if $a$ and $b$ are greater than 0 and not equal to 1, and $x$ is greater than 0.

$\frac{d}{d a} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = e$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{\ln (x)}{\ln (a)}]$

Step 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Da $\ln (x)$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\ln (x)}{\ln (a)}$ nach $a$ gleich $\ln (x) \frac{d}{d a} [\frac{1}{\ln (a)}]$ .

$\ln (x) \frac{d}{d a} [\frac{1}{\ln (a)}]$

Schreibe $\frac{1}{\ln (a)}$ als $\ln^{- 1} (a)$ um.

$\ln (x) \frac{d}{d a} [\ln^{- 1} (a)]$

Step 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ ist $f' (g (a)) g' (a)$ , mit $f (a) = a^{- 1}$ und $g (a) = \ln (a)$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (a)$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\ln (x) (- u^{- 2} \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Ersetze alle $u$ durch $\ln (a)$ .

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (a) \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Step 4

Die Ableitung von $\ln (a)$ nach $a$ ist $\frac{1}{a}$ .

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (a) \frac{1}{a})$

Step 5

Kombiniere Brüche.

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Kombiniere $\frac{1}{a}$ und $\ln^{- 2} (a)$ .

$\ln (x) (- \frac{\ln^{- 2} (a)}{a})$

Bringe $\ln^{- 2} (a)$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{a \ln^{2} (a)})$

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{1}{a \ln^{2} (a)}$ .

$- \frac{\ln (x)}{a \ln^{2} (a)}$