Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Step 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Vereinfache.

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Stelle die Terme um.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ um.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Step 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

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Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x e^{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Vereinfache.

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Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Addiere $e^{x} (2 x)$ und $2 x e^{x}$ .

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Bewege $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Addiere $2 x e^{x}$ und $2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ um.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Step 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Step 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Bestimme die erste Ableitung.

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$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Vereinfache.

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Stelle die Terme um.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ um.

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Step 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

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Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Faktorisiere $x e^{x}$ aus $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ heraus.

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Faktorisiere $x e^{x}$ aus $x^{2} e^{x}$ heraus.

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Faktorisiere $x e^{x}$ aus $2 x e^{x}$ heraus.

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Faktorisiere $x e^{x}$ aus $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ heraus.

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x e^{x} (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2$

Step 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Step 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - 2$

Step 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

${(0)}^{2} e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Step 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Vereinfache jeden Term.

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$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{0}$

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 0 + 2$

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 2$

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Step 10

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Step 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{2} e^{0}$

Vereinfache das Ergebnis.

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$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$f (0) = 0$

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Step 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

${(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Step 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Vereinfache jeden Term.

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Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$4 e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Kombiniere Brüche.

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Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Vereinfache den Ausdruck.

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Subtrahiere $8$ von $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Addiere $- 4$ und $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Step 14

$x = - 2$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 2$ ist ein lokales Maximum

Step 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 2$ .

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Vereinfache das Ergebnis.

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Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = 4 e^{- 2}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}})$

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{e^{2}}$

Step 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{2} e^{x}$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Minimum

$(- 2, \frac{4}{e^{2}})$ ist ein lokales Maximum

Step 17