Analysis Beispiele

$\ln (x^{4} + 27)$

Step 1

Schreibe $\ln (x^{4} + 27)$ als Funktion.

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Step 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{4} + 27$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Kombiniere $\frac{4}{x^{4} + 27}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Step 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 27})$

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 27) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Addiere $3$ und $3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Kombiniere $4$ und $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (27 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Addiere $2$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Mutltipliziere $3$ mit $27$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Mutltipliziere $81$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Subtrahiere $16 x^{6}$ von $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Step 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

Step 5

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{4} + 27$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))$

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + 0)$

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3})$

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 27} \cdot x^{3}$

Kombiniere $\frac{4}{x^{4} + 27}$ und $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Step 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

Setze den Zähler gleich Null.

$4 x^{3} = 0$

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{3} = 0$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{3} = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x^{3} = 0$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Step 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Step 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Step 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{- 4 {(0)}^{6} + 324 {(0)}^{2}}{{({(0)}^{4} + 27)}^{2}}$

Step 10

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{- 4 \cdot 0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$\frac{0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 + 324 \cdot 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Mutltipliziere $324$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 27)}^{2}}$

Addiere $0$ und $27$ .

$\frac{0}{27^{2}}$

Potenziere $27$ mit $2$ .

$\frac{0}{729}$

Dividiere $0$ durch $729$ .

$0$

Step 11

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{4} + 27}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{{(- 2)}^{4} + 27}$

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{16 + 27}$

Addiere $16$ und $27$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{43}$

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32}{43}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 2) = - \frac{32}{43}$

Die endgültige Lösung ist $- \frac{32}{43}$ .

$- \frac{32}{43}$

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{3}}{{(2)}^{4} + 27}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{2^{4} + 27}$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (2) = \frac{2^{2 + 3}}{2^{4} + 27}$

Addiere $2$ und $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{2^{4} + 27}$

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{16 + 27}$

Addiere $16$ und $27$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{43}$

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f' (2) = \frac{32}{43}$

Die endgültige Lösung ist $\frac{32}{43}$ .

$\frac{32}{43}$

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Minimum.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Step 12