Analysis Beispiele

$y = x^{4} - 4 x^{3}$

Step 1

Schreibe $y = x^{4} - 4 x^{3}$ als Funktion.

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

Step 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 4 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Step 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 12 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Step 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Step 5

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 4 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Step 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{3} - 12 x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ heraus.

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x^{2} (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3$

Step 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Step 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, 3$

Step 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0$

Step 10

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$12 \cdot 0 - 24 \cdot 0$

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$0 - 24 \cdot 0$

Mutltipliziere $- 24$ mit $0$ .

$0 + 0$

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Step 11

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $4 x^{3} - 12 x^{2}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 12 {(- 2)}^{2}$

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 - 12 {(- 2)}^{2}$

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = - 32 - 12 \cdot 4$

Mutltipliziere $- 12$ mit $4$ .

$f' (- 2) = - 32 - 48$

Subtrahiere $48$ von $- 32$ .

$f' (- 2) = - 80$

Die endgültige Lösung ist $- 80$ .

$- 80$

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, 3)$ in die erste Ableitung $4 x^{3} - 12 x^{2}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 12 {(2)}^{2}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 12 {(2)}^{2}$

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$f' (2) = 32 - 12 {(2)}^{2}$

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = 32 - 12 \cdot 4$

Mutltipliziere $- 12$ mit $4$ .

$f' (2) = 32 - 48$

Subtrahiere $48$ von $32$ .

$f' (2) = - 16$

Die endgültige Lösung ist $- 16$ .

$- 16$

Setze eine beliebige Zahl, wie $6$ , aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die erste Ableitung $4 x^{3} - 12 x^{2}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 12 {(6)}^{2}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 12 {(6)}^{2}$

Mutltipliziere $4$ mit $216$ .

$f' (6) = 864 - 12 {(6)}^{2}$

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f' (6) = 864 - 12 \cdot 36$

Mutltipliziere $- 12$ mit $36$ .

$f' (6) = 864 - 432$

Subtrahiere $432$ von $864$ .

$f' (6) = 432$

Die endgültige Lösung ist $432$ .

$432$

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Da die erste Ableitung um $x = 3$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 3$ ein lokales Minimum.

$x = 3$ ist ein lokales Minimum

Step 12