Analysis Beispiele

$y = 3 x^{4} - 6 x^{2}$

Step 1

Schreibe $y = 3 x^{4} - 6 x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2}$

Step 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} - 6 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 x^{3} - 6 (2 x)$

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$12 x^{3} - 12 x$

Step 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{3} - 12 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{3}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \cdot 1$

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12$

Step 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$12 x^{3} - 12 x = 0$

Step 5

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} - 6 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 (2 x)$

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{3} - 12 x$ .

$12 x^{3} - 12 x$

Step 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{3} - 12 x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{3} - 12 x = 0$

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{3} - 12 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{3}$ heraus.

$12 x (x^{2}) - 12 x = 0$

Faktorisiere $12 x$ aus $- 12 x$ heraus.

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 1) = 0$

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x (x^{2}) + 12 x (- 1)$ heraus.

$12 x (x^{2} - 1) = 0$

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$12 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$12 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Entferne unnötige Klammern.

$12 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 x (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1, 1$

Step 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Step 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - 1, 1$

Step 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$36 {(0)}^{2} - 12$

Step 10

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$36 \cdot 0 - 12$

Mutltipliziere $36$ mit $0$ .

$0 - 12$

Subtrahiere $12$ von $0$ .

$- 12$

Step 11

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Step 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2}$

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - 6 {(0)}^{2}$

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 6 \cdot 0$

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Step 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$36 {(- 1)}^{2} - 12$

Step 14

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$36 \cdot 1 - 12$

Mutltipliziere $36$ mit $1$ .

$36 - 12$

Subtrahiere $12$ von $36$ .

$24$

Step 15

$x = - 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1$ ist ein lokales Minimum

Step 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{2}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1 - 6 {(- 1)}^{2}$

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (- 1) = 3 - 6 {(- 1)}^{2}$

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 3 - 6 \cdot 1$

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f (- 1) = 3 - 6$

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$f (- 1) = - 3$

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$y = - 3$

Step 17

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$36 {(1)}^{2} - 12$

Step 18

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$36 \cdot 1 - 12$

Mutltipliziere $36$ mit $1$ .

$36 - 12$

Subtrahiere $12$ von $36$ .

$24$

Step 19

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Step 20

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 3 {(1)}^{4} - 6 {(1)}^{2}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 6 {(1)}^{2}$

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1) = 3 - 6 {(1)}^{2}$

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 3 - 6 \cdot 1$

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f (1) = 3 - 6$

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$f (1) = - 3$

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$y = - 3$

Step 21

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2}$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Maximum

$(- 1, - 3)$ ist ein lokales Minimum

$(1, - 3)$ ist ein lokales Minimum

Step 22