Analysis Beispiele

$\frac{\ln (x)}{x^{6}}$

Step 1

Finde die Asymptoten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{\ln (x)}{x^{6}}$ nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Da $\frac{\ln (x)}{x^{6}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $\frac{\ln (x)}{x^{6}}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 0$

$m = 6$

Da $n < m$ , ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

$y = 0$

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Step 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (1)}{{(1)}^{6}}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = \frac{0}{1^{6}}$

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{0}{1}$

Dividiere $0$ durch $1$ .

$f (1) = 0$

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$y = 0$

Step 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{{(2)}^{6}}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $2$ mit $6$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{64}$

Schreibe $\frac{\ln (2)}{64}$ als $\frac{1}{64} \ln (2)$ um.

$f (2) = \frac{1}{64} \cdot \ln (2)$

Vereinfache $\frac{1}{64} \ln (2)$ , indem du $\frac{1}{64}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (2) = \ln (2^{\frac{1}{64}})$

Die endgültige Lösung ist $\ln (2^{\frac{1}{64}})$ .

$\ln (2^{\frac{1}{64}})$

Konvertiere $\ln (2^{\frac{1}{64}})$ nach Dezimal.

$y = 0.01083042$

Step 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{{(3)}^{6}}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $3$ mit $6$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{729}$

Schreibe $\frac{\ln (3)}{729}$ als $\frac{1}{729} \ln (3)$ um.

$f (3) = \frac{1}{729} \cdot \ln (3)$

Vereinfache $\frac{1}{729} \ln (3)$ , indem du $\frac{1}{729}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (3) = \ln (3^{\frac{1}{729}})$

Die endgültige Lösung ist $\ln (3^{\frac{1}{729}})$ .

$\ln (3^{\frac{1}{729}})$

Konvertiere $\ln (3^{\frac{1}{729}})$ nach Dezimal.

$y = 0.00150701$

Step 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 0), (2, 0.01083042), (3, 0.00150701)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.011 \\ 3 & 0.002 \end{array}$

Step 6