Analysis Beispiele

$\int \sec^{4} (2 x) d x$

Step 1

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 2

Kombiniere $\sec^{4} (u_{1})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Step 4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$\frac{1}{2} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

Schreibe ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ als $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ um.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 5

Schreibe $\sec^{2} (u_{1})$ in $1 + \tan^{2} (u_{1})$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{1}{2} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 6

Sei $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Es sei $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Step 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Step 10

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Step 11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (2 x)) + C$

Step 12

Vereinfache.

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Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\tan^{3} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{\tan^{3} (2 x)}{3}) + C$

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\tan (2 x)$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

Kombinieren.

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1 \tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $\tan^{3} (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{6} + C$

Step 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{6} \tan^{3} (2 x) + C$