Analysis Beispiele

$\ln (x) \cdot \ln (10 x)$

Step 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \ln (10 x)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (10 x)] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 10 x$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $10 x$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Ersetze alle $u$ durch $10 x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{10 x} \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 3

Differenziere.

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Kombiniere $\frac{1}{10 x}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [10 x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (x)}{10 x} (10 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Vereinfache Terme.

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Kombiniere $10$ und $\frac{\ln (x)}{10 x}$ .

$\frac{10 \ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 \ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\ln (x)}{x} \cdot 1 + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Mutltipliziere $\frac{\ln (x)}{x}$ mit $1$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (10 x) \frac{1}{x}$

Step 5

Kombiniere $\ln (10 x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \frac{\ln (10 x)}{x}$

Step 6

Vereinfache.

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Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (x) + \ln (10 x)}{x}$

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x (10 x))}{x}$

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\ln (10 x \cdot x)}{x}$

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Bewege $x$ .

$\frac{\ln (10 (x \cdot x))}{x}$

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\ln (10 x^{2})}{x}$