Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{\cos (x)}}$

Step 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\cos (x)}$ als ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Step 2

Wandle von $\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ nach ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ um.

$\frac{d}{d x} [{\sec (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Step 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Step 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Step 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Step 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Step 7

Vereinfache den Zähler.

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Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Step 8

Kombiniere Brüche.

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Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bringe ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Step 9

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (x) \tan (x))$

Step 10

Kombiniere Brüche.

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Kombiniere $\sec (x)$ und $\frac{1}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec (x)}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}} \tan (x)$

Kombiniere $\frac{\sec (x)}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $\tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bringe ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) {\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Step 11

Multipliziere $\sec (x)$ mit ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Bewege ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2}} \sec (x) \tan (x)}{2}$

Mutltipliziere ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ mit $\sec (x)$ .

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Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (x) \tan (x)}{2}$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2} + 1} \tan (x)}{2}$

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \tan (x)}{2}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\sec (x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}} \tan (x)}{2}$

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{{\sec (x)}^{\frac{1}{2}} \tan (x)}{2}$