Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2 \ln (x)}$

Step 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schreibe $x^{2 \ln (x)}$ als $e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}]$

Zerlege $\ln (x^{2 \ln (x)})$ durch Herausziehen von $2 \ln (x)$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln (x) \ln (x)}]$

Step 2

Potenziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln (x))}]$

Step 3

Potenziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln^{1} (x))}]$

Step 4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [e^{2 {\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Step 5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln^{2} (x)}]$

Step 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 \ln^{2} (x)$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 \ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 \ln^{2} (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Step 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \ln^{2} (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Step 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Step 9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Step 10

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x) \frac{1}{x})$

Step 11

Kombiniere Brüche.

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Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $4$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (\frac{4}{x} \ln (x))$

Kombiniere $\frac{4}{x}$ und $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{4 \ln (x)}{x}$

Kombiniere $e^{2 \ln^{2} (x)}$ und $\frac{4 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x))}{x}$

Step 12

Vereinfache den Zähler.

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Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

Multipliziere $4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)$ .

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Stelle $\ln (x)$ und $4$ um.

$\frac{4 \cdot \ln (x) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

Vereinfache $4 \cdot \ln (x)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

Stelle die Faktoren in $\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}$ um.

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x^{4})}{x}$