Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x}$

Step 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = - x^{- 2}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Step 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} = 0$

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Step 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Step 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Step 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{1}{x}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 1) = - 1 \cdot 1$

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (- 1) = - 1$

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- 1$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Step 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Forme den Ausdruck um.

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (1) = - 1$

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 1$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Step 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Step 9