Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{1}{4}}$

Step 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}$

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}$

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}$

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Step 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}})$

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ als ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1})$

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4} \cdot - 1})$

Multipliziere $\frac{3}{4} \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3 \cdot - 1}{4}})$

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 3}{4}})$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{3}{4}})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1})$

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 4}{4}})$

Subtrahiere $4$ von $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 7}{4}})$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{7}{4}})$

Kombiniere $x^{- \frac{7}{4}}$ und $\frac{3}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4})$

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{16}$

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{7}{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot x^{- \frac{7}{4}}}{16}$

Bringe $x^{- \frac{7}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{16 x^{\frac{7}{4}}}$

Step 3

Bestimme die dritte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- \frac{3}{16}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{16 x^{\frac{7}{4}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{16} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$ als ${(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$ um.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7}{4} \cdot - 1}$

Multipliziere $\frac{7}{4} \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $\frac{7}{4}$ und $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7 \cdot - 1}{4}}$

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 7}{4}}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{7}{4}}$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{7}{4}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} - 1})$

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 7 - 1 \cdot 4}{4}})$

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 7 - 4}{4}})$

Subtrahiere $4$ von $- 7$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 11}{4}})$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{11}{4}})$

Kombiniere $x^{- \frac{11}{4}}$ und $\frac{7}{4}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4})$

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{3}{16}) \cdot \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$

Mutltipliziere $\frac{3}{16}$ mit $1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{16} \cdot \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$

Mutltipliziere $\frac{3}{16}$ mit $\frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$ .

$f''' (x) = \frac{3 (x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7)}{16 \cdot 4}$

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f''' (x) = \frac{21 x^{- \frac{11}{4}}}{16 \cdot 4}$

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$f''' (x) = \frac{21 x^{- \frac{11}{4}}}{64}$

Bringe $x^{- \frac{11}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{64 x^{\frac{11}{4}}}$

Step 4

Bestimme die vierte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $\frac{21}{64}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{21}{64 x^{\frac{11}{4}}}$ nach $x$ gleich $\frac{21}{64} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}})$

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}}$ als ${(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1}$ um.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1})$

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{11}{4} \cdot - 1})$

Multipliziere $\frac{11}{4} \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $\frac{11}{4}$ und $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{11 \cdot - 1}{4}})$

Mutltipliziere $11$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 11}{4}})$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{11}{4}})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{11}{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} - 1})$

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 11 - 1 \cdot 4}{4}})$

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 11 - 4}{4}})$

Subtrahiere $4$ von $- 11$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 15}{4}})$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{15}{4}})$

Kombiniere $x^{- \frac{15}{4}}$ und $\frac{11}{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11}{4})$

Mutltipliziere $\frac{21}{64}$ mit $\frac{x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11}{4}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21 (x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11)}{64 \cdot 4}$

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $11$ mit $21$ .

$f^{4} (x) = - \frac{231 x^{- \frac{15}{4}}}{64 \cdot 4}$

Mutltipliziere $64$ mit $4$ .

$f^{4} (x) = - \frac{231 x^{- \frac{15}{4}}}{256}$

Bringe $x^{- \frac{15}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$

Step 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$ .

$- \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$