Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$

Step 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x])$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5)$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Kombiniere $\frac{5}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 5$ .

$x^{4} + \frac{- 5}{5}$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + \frac{- 1}{1}$

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$x^{4} - 1$

Step 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 0$

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3}$

Step 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$x^{4} - 1 = 0$

Step 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5} - 5 x)$

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5)$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Kombiniere $\frac{5}{5}$ und $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 5}{5}$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 1}{1}$

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$f' (x) = x^{4} - 1$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{4} - 1$ .

$x^{4} - 1$

Step 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{4} - 1 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} = 1$

Ziehe die 4. Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Step 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Step 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1, - 1$

Step 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 {(1)}^{3}$

Step 9

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \cdot 1$

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Step 10

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Step 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{5} - 5 \cdot 1}{5}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{1 - 5 \cdot 1}{5}$

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{1 - 5}{5}$

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{5}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (1) = - \frac{4}{5}$

Die endgültige Lösung ist $- \frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{4}{5}$

Step 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 {(- 1)}^{3}$

Step 13

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$4 \cdot - 1$

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum

Step 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 1}{5}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 5 \cdot - 1}{5}$

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 5}{5}$

Addiere $- 1$ und $5$ .

$f (- 1) = \frac{4}{5}$

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{5}$ .

$y = \frac{4}{5}$

Step 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$ .

$(1, - \frac{4}{5})$ ist ein lokales Minimum

$(- 1, \frac{4}{5})$ ist ein lokales Maximum

Step 17