Analysis Beispiele

$y = x^{2} \ln (4 x)$

Step 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (4 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Step 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Step 3

Differenziere.

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Kombiniere $\frac{1}{4 x}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{4} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Vereinfache Terme.

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Kombiniere $4$ und $\frac{x}{4}$ .

$\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x + \ln (4 x) (2 x)$

Stelle die Terme um.

$2 x \ln (4 x) + x$