Algebra Beispiele

$x^{3} + x^{2} - x - 1$

Step 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + x^{2} - x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 + 0$

Addiere $3 x^{2} + 2 x - 1$ und $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Step 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + 0$

Addiere $6 x + 2$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2$

Step 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Step 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + x^{2} - x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 + 0$

Addiere $3 x^{2} + 2 x - 1$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} + 2 x - 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Step 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ .

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Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$3 x^{2} + 2 (x) - 1 = 0$

Schreibe $2$ um als $- 1$ plus $3$

$3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1 = 0$

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1 = 0$

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1 = 0$

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = 0$

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x + 1) = 0$

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 1) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Step 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Step 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Step 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 (\frac{1}{3}) + 2$

Step 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 (2) \frac{1}{3} + 2$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 2$

Forme den Ausdruck um.

$2 + 2$

Addiere $2$ und $2$ .

$4$

Step 10

$x = \frac{1}{3}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{3}$ ist ein lokales Minimum

Step 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{3}$ .

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Vereinfache das Ergebnis.

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Vereinfache jeden Term.

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Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1^{2}}{3^{2}} - (\frac{1}{3}) - 1$

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{3^{2}} - (\frac{1}{3}) - 1$

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 1$

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 1$

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{1}{3} - 1$

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}) - 1$

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} - 1$

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1}{1}$

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Stelle die Faktoren von $9 \cdot 3$ um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{3 \cdot 9} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{27} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 - 1 \cdot 27}{27}$

Vereinfache den Ausdruck.

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Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 - 27}{27}$

Addiere $1$ und $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4 - 9 - 27}{27}$

Subtrahiere $9$ von $4$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5 - 27}{27}$

Subtrahiere $27$ von $- 5$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 32}{27}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

Die endgültige Lösung ist $- \frac{32}{27}$ .

$y = - \frac{32}{27}$

Step 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 (- 1) + 2$

Step 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6 + 2$

Addiere $- 6$ und $2$ .

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum

Step 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 1) = - 1 + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = - 1 + 1 - (- 1) - 1$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 1 + 1 - 1$

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (- 1) = 0 + 1 - 1$

Addiere $0$ und $1$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (- 1) = 0$

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Step 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1$ .

$(\frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ ist ein lokales Minimum

$(- 1, 0)$ ist ein lokales Maximum

Step 17