Algebra Beispiele

$y = x^{2} + 8 x + 15$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 8 x + 15$ an.

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Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 8$

$c = 15$

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{1}$

Dividiere $4$ durch $1$ .

$d = 4$

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 15 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Vereinfache die rechte Seite.

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Vereinfache jeden Term.

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Potenziere $8$ mit $2$ .

$e = 15 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 15 - \frac{64}{4}$

Dividiere $64$ durch $4$ .

$e = 15 - 1 \cdot 16$

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$e = 15 - 16$

Subtrahiere $16$ von $15$ .

$e = - 1$

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + 4)}^{2} - 1$ ein.

${(x + 4)}^{2} - 1$

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = {(x + 4)}^{2} - 1$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = - 4$

$k = - 1$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 4, - 1)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 4, - \frac{3}{4})$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 4$

Schritt 8