Algebra Beispiele

$e^{x} + e^{- 5 x}$

Step 1

Schreibe $e^{x} + e^{- 5 x}$ als Funktion.

$f (x) = e^{x} + e^{- 5 x}$

Step 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + e^{- 5 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 5 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 5 x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Ersetze alle $u$ durch $- 5 x$ .

$e^{x} + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)$

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$e^{x} + e^{- 5 x} \cdot - 5$

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $e^{- 5 x}$ .

$e^{x} - 5 e^{- 5 x}$

Step 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - 5 e^{- 5 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- 5 x})$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- 5 x})$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 e^{- 5 x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 e^{- 5 x}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 \frac{d}{d x} e^{- 5 x}$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 5 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 5 x$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Ersetze alle $u$ durch $- 5 x$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x))$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = e^{x} + 25 e^{- 5 x}$

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 25 e^{- 5 x} + e^{x}$

Step 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$e^{x} - 5 e^{- 5 x} = 0$

Step 5

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + e^{- 5 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{- 5 x})$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{- 5 x})$

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 5 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 5 x$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Ersetze alle $u$ durch $- 5 x$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)$

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 5 x} \cdot - 5$

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $e^{- 5 x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 5 e^{- 5 x}$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $e^{x} - 5 e^{- 5 x}$ .

$e^{x} - 5 e^{- 5 x}$

Step 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $e^{x} - 5 e^{- 5 x} = 0$ .

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Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$e^{x} - 5 e^{- 5 x} = 0$

Bringe $- 5 e^{- 5 x}$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du es auf beiden Seiten addierst.

$e^{x} = 5 e^{- 5 x}$

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (5 e^{- 5 x})$

Multipliziere die linke Seite aus.

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Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (5 e^{- 5 x})$

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5 e^{- 5 x})$

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (5 e^{- 5 x})$

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schreibe $\ln (5 e^{- 5 x})$ als $\ln (5) + \ln (e^{- 5 x})$ um.

$x = \ln (5) + \ln (e^{- 5 x})$

Zerlege $\ln (e^{- 5 x})$ durch Herausziehen von $- 5 x$ aus dem Logarithmus.

$x = \ln (5) - 5 x \ln (e)$

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x = \ln (5) - 5 x \cdot 1$

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$x = \ln (5) - 5 x$

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Addiere $5 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + 5 x = \ln (5)$

Addiere $x$ und $5 x$ .

$6 x = \ln (5)$

Teile jeden Ausdruck in $6 x = \ln (5)$ durch $6$ und vereinfache.

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Teile jeden Ausdruck in $6 x = \ln (5)$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\ln (5)}{6}$

Vereinfache die linke Seite.

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Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\ln (5)}{6}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{6}$

Step 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Step 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{\ln (5)}{6}$

Step 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{\ln (5)}{6}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$25 e^{- 5 \frac{\ln (5)}{6}} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Step 10

Vereinfache jeden Term.

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Schreibe $\frac{\ln (5)}{6}$ als $\frac{1}{6} \ln (5)$ um.

$25 e^{- 5 (\frac{1}{6} \ln (5))} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Vereinfache $\frac{1}{6} \ln (5)$ , indem du $\frac{1}{6}$ in den Logarithmus ziehst.

$25 e^{- 5 \ln (5^{\frac{1}{6}})} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Vereinfache $- 5 \ln (5^{\frac{1}{6}})$ , indem du $- 5$ in den Logarithmus ziehst.

$25 e^{\ln ({(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5})} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$25 {(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5}$ .

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Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 \cdot 5^{\frac{1}{6} \cdot - 5} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $- 5$ .

$25 \cdot 5^{\frac{- 5}{6}} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$25 \cdot 5^{- \frac{5}{6}} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$25 \cdot \frac{1}{5^{\frac{5}{6}}} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Kombiniere $25$ und $\frac{1}{5^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{25}{5^{\frac{5}{6}}} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Schreibe $\frac{\ln (5)}{6}$ als $\frac{1}{6} \ln (5)$ um.

$\frac{25}{5^{\frac{5}{6}}} + e^{\frac{1}{6} \ln (5)}$

Vereinfache $\frac{1}{6} \ln (5)$ , indem du $\frac{1}{6}$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{25}{5^{\frac{5}{6}}} + e^{\ln (5^{\frac{1}{6}})}$

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{25}{5^{\frac{5}{6}}} + 5^{\frac{1}{6}}$

Step 11

$x = \frac{\ln (5)}{6}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{\ln (5)}{6}$ ist ein lokales Minimum

Step 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{\ln (5)}{6}$ .

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Simplify $\frac{\ln (5)}{6}$ to substitute in $f (x) = e^{x} + e^{- 5 x}$ .

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Schreibe $\frac{\ln (5)}{6}$ als $\frac{1}{6} \ln (5)$ um.

$y = \frac{1}{6} \cdot \ln (5)$

Vereinfache $\frac{1}{6} \ln (5)$ , indem du $\frac{1}{6}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = \ln (5^{\frac{1}{6}})$

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\ln (5^{\frac{1}{6}})$ .

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = e^{\ln (5^{\frac{1}{6}})} + e^{- 5 \ln (5^{\frac{1}{6}})}$

Vereinfache das Ergebnis.

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Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + e^{- 5 \ln (5^{\frac{1}{6}})}$

Vereinfache $- 5 \ln (5^{\frac{1}{6}})$ , indem du $- 5$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + e^{\ln ({(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5})}$

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + {(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5}$

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + 5^{\frac{1}{6} \cdot - 5}$

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $- 5$ .

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + 5^{\frac{- 5}{6}}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + 5^{- \frac{5}{6}}$

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + \frac{1}{5^{\frac{5}{6}}}$

Die endgültige Lösung ist $5^{\frac{1}{6}} + \frac{1}{5^{\frac{5}{6}}}$ .

$y = 5^{\frac{1}{6}} + \frac{1}{5^{\frac{5}{6}}}$

Step 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = e^{x} + e^{- 5 x}$ .

$(\frac{\ln (5)}{6}, 5^{\frac{1}{6}} + \frac{1}{5^{\frac{5}{6}}})$ ist ein lokales Minimum

Step 14