Algebra Beispiele

$f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 3$

Step 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$9 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4 + 0$

Addiere $9 x^{2} - 4 x - 4$ und $0$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4$

Step 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} - 4 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f'' (x) = 18 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 18 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 18 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 18 x - 4 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 18 x - 4 + 0$

Addiere $18 x - 4$ und $0$ .

$f'' (x) = 18 x - 4$

Step 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$9 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Step 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Bestimme die erste Ableitung.

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Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 3)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x - 4 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x - 4 + 0$

Addiere $9 x^{2} - 4 x - 4$ und $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x - 4$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $9 x^{2} - 4 x - 4$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4$

Step 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $9 x^{2} - 4 x - 4 = 0$ .

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Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Setze die Werte $a = 9$ , $b = - 4$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 4)}}{2 \cdot 9}$

Vereinfache.

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Vereinfache den Zähler.

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Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 9 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 4$ .

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Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 36 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 144}}{2 \cdot 9}$

Addiere $16$ und $144$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 9}$

Schreibe $160$ als $4^{2} \cdot 10$ um.

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Faktorisiere $16$ aus $160$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 9}$

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 9}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 9}$

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{9}$

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Vereinfache den Zähler.

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Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 9 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 4$ .

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Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 36 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 144}}{2 \cdot 9}$

Addiere $16$ und $144$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 9}$

Schreibe $160$ als $4^{2} \cdot 10$ um.

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Faktorisiere $16$ aus $160$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 9}$

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 9}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 9}$

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{9}$

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Vereinfache den Zähler.

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Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 9 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 36 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 144}}{2 \cdot 9}$

Addiere $16$ und $144$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 9}$

Schreibe $160$ als $4^{2} \cdot 10$ um.

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Faktorisiere $16$ aus $160$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 9}$

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 9}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 9}$

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{9}$

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}, \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$

Step 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Step 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}, \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$

Step 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$18 (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) - 4$

Step 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Vereinfache jeden Term.

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Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$9 (2) \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 4$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \cdot 2 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 4$

Forme den Ausdruck um.

$2 (2 + 2 \sqrt{10}) - 4$

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 2 + 2 (2 \sqrt{10}) - 4$

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 + 2 (2 \sqrt{10}) - 4$

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 + 4 \sqrt{10} - 4$

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0 + 4 \sqrt{10}$

Addiere $0$ und $4 \sqrt{10}$ .

$4 \sqrt{10}$

Step 10

$x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ ist ein lokales Minimum

Step 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ .

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{3} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Vereinfache das Ergebnis.

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Vereinfache jeden Term.

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Wende die Produktregel auf $\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ an.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{3}}{9^{3}}) - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Potenziere $9$ mit $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{3}}{729}) - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Faktorisiere $3$ aus $729$ heraus.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{3}}{3 (243)}) - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{3}}{3 \cdot 243}) - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{2^{3} + 3 \cdot (2^{2} (2 \sqrt{10})) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Vereinfache jeden Term.

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Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (2^{2} (2 \sqrt{10})) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliziere $2^{2}$ mit $2$ durch Addieren der Exponenten.

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Bewege $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot ((2 \cdot 2^{2}) \sqrt{10}) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Mutltipliziere $2$ mit $2^{2}$ .

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Potenziere $2$ mit $1$ .

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (2^{1 + 2} \sqrt{10}) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (2^{3} \sqrt{10}) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (8 \sqrt{10}) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 {(2 \sqrt{10})}^{2} + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{10}$ an.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (2^{2} {\sqrt{10}}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 {\sqrt{10}}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 \cdot 4 \cdot 10 + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliziere $6 (4 \cdot 10)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 \cdot 40 + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Mutltipliziere $6$ mit $40$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{10}$ an.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 2^{3} {\sqrt{10}}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 {\sqrt{10}}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Schreibe ${\sqrt{10}}^{3}$ als ${(10^{3})}^{\frac{1}{2}}$ um.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 \sqrt{10^{3}}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Potenziere $10$ mit $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 \sqrt{1000}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Schreibe $1000$ als $10^{2} \cdot 10$ um.

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Faktorisiere $100$ aus $1000$ heraus.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 \sqrt{100 (10)}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 \sqrt{10^{2} \cdot 10}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 (10 \sqrt{10})}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Mutltipliziere $10$ mit $8$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 80 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Addiere $8$ und $240$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 24 \sqrt{10} + 80 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Addiere $24 \sqrt{10}$ und $80 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende die Produktregel auf $\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ an.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{2}}{9^{2}} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{2}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Schreibe ${(2 + 2 \sqrt{10})}^{2}$ als $(2 + 2 \sqrt{10}) (2 + 2 \sqrt{10})$ um.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{(2 + 2 \sqrt{10}) (2 + 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliziere $(2 + 2 \sqrt{10}) (2 + 2 \sqrt{10})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 (2 + 2 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} (2 + 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 \cdot 2 + 2 (2 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} (2 + 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 \cdot 2 + 2 (2 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} \cdot 2 + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 2 (2 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} \cdot 2 + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 2 \sqrt{10} \cdot 2 + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliziere $2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10})$ .

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Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 (\sqrt{10} \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 (\sqrt{10} \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 {\sqrt{10}}^{2}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 40}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Addiere $4$ und $40$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{44 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Addiere $4 \sqrt{10}$ und $4 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{44 + 8 \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Kombiniere $- 2$ und $\frac{44 + 8 \sqrt{10}}{81}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} + \frac{- 2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{(2) (44 + 8 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81} + \frac{- 4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Mutltipliziere $\frac{2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - (\frac{2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Mutltipliziere $\frac{2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Mutltipliziere $\frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - (\frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9} \cdot \frac{27}{27}) - 3$

Mutltipliziere $\frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} - 3$

Schreibe $- 3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3}{1}$

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{243}{243}$

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Stelle die Faktoren von $81 \cdot 3$ um.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{3 \cdot 81} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $3$ mit $81$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{243} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $9$ mit $27$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{243} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{243} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Vereinfache jeden Term.

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Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} + (- 2 \cdot 44 - 2 (8 \sqrt{10})) \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $- 2$ mit $44$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} + (- 88 - 2 (8 \sqrt{10})) \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} + (- 88 - 16 \sqrt{10}) \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 88 \cdot 3 - 16 \sqrt{10} \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $- 88$ mit $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 16 \sqrt{10} \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $3$ mit $- 16$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} + (- 4 \cdot 2 - 4 (2 \sqrt{10})) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} + (- 8 - 4 (2 \sqrt{10})) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} + (- 8 - 8 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} - 8 \cdot 27 - 8 \sqrt{10} \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $- 8$ mit $27$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} - 216 - 8 \sqrt{10} \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $27$ mit $- 8$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} - 216 - 216 \sqrt{10} - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $- 3$ mit $243$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} - 216 - 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere $264$ von $248$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 16 + 104 \sqrt{10} - 48 \sqrt{10} - 216 - 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Subtrahiere $216$ von $- 16$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 232 + 104 \sqrt{10} - 48 \sqrt{10} - 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Subtrahiere $729$ von $- 232$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 + 104 \sqrt{10} - 48 \sqrt{10} - 216 \sqrt{10}}{243}$

Subtrahiere $48 \sqrt{10}$ von $104 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 + 56 \sqrt{10} - 216 \sqrt{10}}{243}$

Subtrahiere $216 \sqrt{10}$ von $56 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 - 160 \sqrt{10}}{243}$

Schreibe $- 961$ als $- 1 (961)$ um.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 \cdot 961 - 160 \sqrt{10}}{243}$

Faktorisiere $- 1$ aus $- 160 \sqrt{10}$ heraus.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 \cdot 961 - (160 \sqrt{10})}{243}$

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (961) - (160 \sqrt{10})$ heraus.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 (961 + 160 \sqrt{10})}{243}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = - \frac{961 + 160 \sqrt{10}}{243}$

Die endgültige Lösung ist $- \frac{961 + 160 \sqrt{10}}{243}$ .

$y = - \frac{961 + 160 \sqrt{10}}{243}$

Step 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$18 (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) - 4$

Step 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Vereinfache jeden Term.

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Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$9 (2) \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 4$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \cdot 2 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 4$

Forme den Ausdruck um.

$2 (2 - 2 \sqrt{10}) - 4$

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 2 + 2 (- 2 \sqrt{10}) - 4$

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 + 2 (- 2 \sqrt{10}) - 4$

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$4 - 4 \sqrt{10} - 4$

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0 - 4 \sqrt{10}$

Subtrahiere $4 \sqrt{10}$ von $0$ .

$- 4 \sqrt{10}$

Step 14

$x = \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ ist ein lokales Maximum

Step 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ .

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Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{3} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Vereinfache das Ergebnis.

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Vereinfache jeden Term.

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Wende die Produktregel auf $\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ an.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{3}}{9^{3}}) - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Potenziere $9$ mit $3$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{3}}{729}) - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Faktorisiere $3$ aus $729$ heraus.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{3}}{3 (243)}) - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{3}}{3 \cdot 243}) - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{2^{3} + 3 \cdot (2^{2} (- 2 \sqrt{10})) + 3 \cdot (2 {(- 2 \sqrt{10})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Vereinfache jeden Term.

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Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (2^{2} (- 2 \sqrt{10})) + 3 \cdot (2 {(- 2 \sqrt{10})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (4 (- 2 \sqrt{10})) + 3 \cdot (2 {(- 2 \sqrt{10})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 12 (- 2 \sqrt{10}) + 3 \cdot (2 {(- 2 \sqrt{10})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 3 \cdot (2 {(- 2 \sqrt{10})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 {(- 2 \sqrt{10})}^{2} + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{10}$ an.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 ({(- 2)}^{2} {\sqrt{10}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 {\sqrt{10}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 \cdot 4 \cdot 10 + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliziere $6 (4 \cdot 10)$ .

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Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 \cdot 40 + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Mutltipliziere $6$ mit $40$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{10}$ an.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 + {(- 2)}^{3} {\sqrt{10}}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 {\sqrt{10}}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Schreibe ${\sqrt{10}}^{3}$ als ${(10^{3})}^{\frac{1}{2}}$ um.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 \sqrt{10^{3}}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Potenziere $10$ mit $3$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 \sqrt{1000}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Schreibe $1000$ als $10^{2} \cdot 10$ um.

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Faktorisiere $100$ aus $1000$ heraus.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 \sqrt{100 (10)}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 \sqrt{10^{2} \cdot 10}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 (10 \sqrt{10})}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Mutltipliziere $10$ mit $- 8$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 80 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Addiere $8$ und $240$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 24 \sqrt{10} - 80 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Subtrahiere $80 \sqrt{10}$ von $- 24 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende die Produktregel auf $\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ an.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{2}}{9^{2}} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{2}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Schreibe ${(2 - 2 \sqrt{10})}^{2}$ als $(2 - 2 \sqrt{10}) (2 - 2 \sqrt{10})$ um.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{(2 - 2 \sqrt{10}) (2 - 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliziere $(2 - 2 \sqrt{10}) (2 - 2 \sqrt{10})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 (2 - 2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{10} (2 - 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{10} (2 - 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{10} \cdot 2 - 2 \sqrt{10} (- 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 2 (- 2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{10} \cdot 2 - 2 \sqrt{10} (- 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 2 \sqrt{10} \cdot 2 - 2 \sqrt{10} (- 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} - 2 \sqrt{10} (- 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliziere $- 2 \sqrt{10} (- 2 \sqrt{10})$ .

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Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 (\sqrt{10} \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 (\sqrt{10} \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 {\sqrt{10}}^{2}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 40}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Addiere $4$ und $40$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{44 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Subtrahiere $4 \sqrt{10}$ von $- 4 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{44 - 8 \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Kombiniere $- 2$ und $\frac{44 - 8 \sqrt{10}}{81}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} + \frac{- 2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{(2) (44 - 8 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81} + \frac{- 4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $\frac{2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - (\frac{2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Mutltipliziere $\frac{2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Mutltipliziere $\frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - (\frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9} \cdot \frac{27}{27}) - 3$

Mutltipliziere $\frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} - 3$

Schreibe $- 3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3}{1}$

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{243}{243}$

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Stelle die Faktoren von $81 \cdot 3$ um.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{3 \cdot 81} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $3$ mit $81$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{243} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $9$ mit $27$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{243} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{243} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} + (- 2 \cdot 44 - 2 (- 8 \sqrt{10})) \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $- 2$ mit $44$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} + (- 88 - 2 (- 8 \sqrt{10})) \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} + (- 88 + 16 \sqrt{10}) \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 88 \cdot 3 + 16 \sqrt{10} \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $- 88$ mit $3$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 16 \sqrt{10} \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} + (- 4 \cdot 2 - 4 (- 2 \sqrt{10})) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} + (- 8 - 4 (- 2 \sqrt{10})) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} + (- 8 + 8 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} - 8 \cdot 27 + 8 \sqrt{10} \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $- 8$ mit $27$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} - 216 + 8 \sqrt{10} \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $27$ mit $8$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} - 216 + 216 \sqrt{10} - 3 \cdot 243}{243}$

Mutltipliziere $- 3$ mit $243$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} - 216 + 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Vereinfache Terme.

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Subtrahiere $264$ von $248$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 16 - 104 \sqrt{10} + 48 \sqrt{10} - 216 + 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Subtrahiere $216$ von $- 16$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 232 - 104 \sqrt{10} + 48 \sqrt{10} + 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Subtrahiere $729$ von $- 232$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 - 104 \sqrt{10} + 48 \sqrt{10} + 216 \sqrt{10}}{243}$

Addiere $- 104 \sqrt{10}$ und $48 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 - 56 \sqrt{10} + 216 \sqrt{10}}{243}$

Addiere $- 56 \sqrt{10}$ und $216 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 + 160 \sqrt{10}}{243}$

Schreibe $- 961$ als $- 1 (961)$ um.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 \cdot 961 + 160 \sqrt{10}}{243}$

Faktorisiere $- 1$ aus $160 \sqrt{10}$ heraus.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 \cdot 961 - (- 160 \sqrt{10})}{243}$

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (961) - (- 160 \sqrt{10})$ heraus.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 (961 - 160 \sqrt{10})}{243}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = - \frac{961 - 160 \sqrt{10}}{243}$

Die endgültige Lösung ist $- \frac{961 - 160 \sqrt{10}}{243}$ .

$y = - \frac{961 - 160 \sqrt{10}}{243}$

Step 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 3$ .

$(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}, - \frac{961 + 160 \sqrt{10}}{243})$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}, - \frac{961 - 160 \sqrt{10}}{243})$ ist ein lokales Maximum

Step 17