Algebra Beispiele

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Step 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 5$

$b = 12$

$k = 0$

$h = 6$

Step 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(6, 0)$

Step 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}$

Vereinfache.

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Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{25 + {(12)}^{2}}$

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\sqrt{25 + 144}$

Addiere $25$ und $144$ .

$\sqrt{169}$

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$\sqrt{13^{2}}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$13$

Step 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(6, 5)$

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - a)$

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(6, - 5)$

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm a)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(6, 5), (6, - 5)$

Step 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(6, 13)$

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - c)$

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(6, - 13)$

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(6, 13), (6, - 13)$

Step 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}}{5}$

Vereinfache den Zähler.

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Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 12^{2}}}{5}$

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 144}}{5}$

Addiere $25$ und $144$ .

$\frac{\sqrt{169}}{5}$

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{5}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{13}{5}$

Step 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{12^{2}}{13}$

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\frac{144}{13}$

Step 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , da diese Hyperbel nach oben und unten offen ist.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Step 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Entferne die Klammern.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Vereinfache $\frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ .

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Vereinfache den Ausdruck.

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Addiere $\frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ und $0$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot - 6$

Kombiniere $\frac{5}{12}$ und $x$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot - 6$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 (2)} \cdot - 6$

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2} \cdot - 1$

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Vereinfache den Ausdruck.

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Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{- 5}{2}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$

Step 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Entferne die Klammern.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Vereinfache $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ .

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Vereinfache Terme.

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Addiere $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ und $0$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 6$

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{12}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 6$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{12}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot - 6$

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 (2)} \cdot - 6$

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{2} \cdot - 1$

Kombiniere $\frac{- 5}{2}$ und $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5 \cdot - 1}{2}$

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{2}$

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(6, 0)$

Scheitelpunkte: $(6, 5), (6, - 5)$

Brennpunkte: $(6, 13), (6, - 13)$

Exzentrizität: $\frac{13}{5}$

Fokaler Parameter: $\frac{144}{13}$

Asymptoten: $y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$ , $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 15