Algebra Beispiele

$(- \frac{1}{3}, 4)$

Schritt 1

$x = - \frac{1}{3}$ und $x = 4$ sind die beiden voneinander verschiedenen reellen Lösungen für die quadratische Gleichung, was bedeutet, dass $x + \frac{1}{3}$ und $x - 4$ die Faktoren der quadratischen Gleichung sind.

$(x + \frac{1}{3}) (x - 4) = 0$

Schritt 2

Multipliziere $(x + \frac{1}{3}) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 4) + \frac{1}{3} \cdot (x - 4) = 0$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 4 + \frac{1}{3} \cdot (x - 4) = 0$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 4 + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 4 = 0$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 4 = 0$

Schritt 3.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 4 \cdot x + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 4 = 0$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 4 = 0$

Schritt 3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 4$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{x}{3} + \frac{- 4}{3} = 0$

Schritt 3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - 4 x + \frac{x}{3} - \frac{4}{3} = 0$

Schritt 3.2

Um $- 4 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - 4 x \cdot \frac{3}{3} + \frac{x}{3} - \frac{4}{3} = 0$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 4 x$ und $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{- 4 x \cdot 3}{3} + \frac{x}{3} - \frac{4}{3} = 0$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{- 4 x \cdot 3 + x}{3} - \frac{4}{3} = 0$

Schritt 3.5

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{- 4 x \cdot 3 + x}{3} - \frac{4}{3} = 0$

Schritt 3.6

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 x \cdot 3 + x}{3} - \frac{4}{3} = 0$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 3 - 4 x \cdot 3 + x}{3} - \frac{4}{3} = 0$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 3 - 4 x \cdot 3 + x - 4}{3} = 0$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot x^{2} - 4 x \cdot 3 + x - 4}{3} = 0$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} - 12 x + x - 4}{3} = 0$

Schritt 4.3

Addiere $- 12 x$ und $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 11 x - 4}{3} = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 4.4.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 x$ heraus.

$\frac{3 x^{2} - 11 x - 4}{3} = 0$

Schritt 4.4.1.2

Schreibe $- 11$ um als $1$ plus $- 12$

$\frac{3 x^{2} + (1 - 12) x - 4}{3} = 0$

Schritt 4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + 1 x - 12 x - 4}{3} = 0$

Schritt 4.4.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2} + x - 12 x - 4}{3} = 0$

Schritt 4.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 x^{2} + x) - 12 x - 4}{3} = 0$

Schritt 4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (3 x + 1) - 4 (3 x + 1)}{3} = 0$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 4)}{3} = 0$

Schritt 5

Multipliziere $(3 x + 1) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x (x - 4) + 1 (x - 4)}{3} = 0$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 + 1 (x - 4)}{3} = 0$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 + 1 x + 1 \cdot - 4}{3} = 0$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 4 + 1 x + 1 \cdot - 4}{3} = 0$

Schritt 6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 x \cdot - 4 + 1 x + 1 \cdot - 4}{3} = 0$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 12 x + 1 x + 1 \cdot - 4}{3} = 0$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 12 x + x + 1 \cdot - 4}{3} = 0$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 12 x + x - 4}{3} = 0$

Schritt 6.2

Addiere $- 12 x$ und $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 11 x - 4}{3} = 0$

Schritt 7

Zerlege den Bruch $\frac{3 x^{2} - 11 x - 4}{3}$ in zwei Brüche.

$\frac{3 x^{2} - 11 x}{3} + \frac{- 4}{3} = 0$

Schritt 8

Zerlege den Bruch $\frac{3 x^{2} - 11 x}{3}$ in zwei Brüche.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{- 11 x}{3} + \frac{- 4}{3} = 0$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{- 11 x}{3} + \frac{- 4}{3} = 0$

Schritt 9.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{- 11 x}{3} + \frac{- 4}{3} = 0$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - \frac{11 x}{3} + \frac{- 4}{3} = 0$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - \frac{11 x}{3} - \frac{4}{3} = 0$

Schritt 12

Die Normalform der quadratischen Gleichung basierend auf der gegebenen Lösungsmenge ${- \frac{1}{3}, 4}$ ist $y = x^{2} - \frac{11 x}{3} - \frac{4}{3}$ .

$y = x^{2} - \frac{11 x}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 13