Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

Step 1

Weise der Matrix den Namen $A$ zu, um die Beschreibung im Verlauf des Problems zu vereinfachen.

$A = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

Step 2

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A + (- λ I_{2}))$

Step 3

Ersetze die bekannten Werte in der Formel.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Step 4

Subtrahiere den Eigenwert mal der Einheitsmatrix von der ursprünglichen Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Stelle $- λ \cdot 1$ um.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Stelle $- λ \cdot 0$ um.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Stelle $- λ \cdot 0$ um.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Stelle $- λ \cdot 1$ um.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}]$

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Vereinfache jedes Element der Matrix $[\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache $2 + 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Vereinfache $3 + 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$

Step 5

Finde die Determinante von $[\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Dies sind beides gültige Schreibweisen für die Determinante einer Matrix.

$Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}] = | \begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array} |$

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (4 - λ) (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere $(4 - λ) (1 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot (- 1 λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot (- 1 (λ \cdot λ)) - 3 \cdot 2$

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot (- 1 λ^{2}) - 3 \cdot 2$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Subtrahiere $λ$ von $- 4 λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

Step 6

Stelle das Polynom um.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

Step 7

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Step 8

Ermittle die Wurzeln von $λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$ durch Auflösen nach $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 5$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $λ$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Addiere $25$ und $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Addiere $25$ und $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Addiere $25$ und $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Step 9

Der Eigenvektor für $λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ ist gleich dem Nullraum der Matrix minus dem Eigenwert mal der Einheitsmatrix.

$ε_{A} (\frac{5 + \sqrt{33}}{2}) = N (A - λ I_{2})$

Step 10

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]}$

Step 11

Vereinfache den Matrix-Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Stelle $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ um.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Stelle $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ um.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Stelle $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ um.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Stelle $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ um.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Vereinfache jedes Element der Matrix $[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache $4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Vereinfache $2 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Vereinfache $3 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Vereinfache $1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Step 12

Ermittle die normierte Zeilenstufenform der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Führe die Zeilenoperation $R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$ auf $R_{1}$ (Zeile $1$ ) aus, um einige Elemente in der Zeile in $1$ umzuwandeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze $R_{1}$ (Zeile $1$ ) mit der Zeilenoperation $R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$ , um einige Elemente in der Reihe in den gewünschten Wert $1$ umzuwandeln.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1} & - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1} \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Ersetze $R_{1}$ (Zeile $1$ ) durch die tatsächlichen Werte der Elemente für die Zeilenoperation $R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{3 + \sqrt{33}}{12}) \cdot (\frac{3 - \sqrt{33}}{2}) & (- \frac{3 + \sqrt{33}}{12}) \cdot (2) \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Vereinfache $R_{1}$ (Zeile $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Führe die Zeilenoperation $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ auf $R_{2}$ (Zeile $2$ ) aus, um einige Elemente in der Zeile in $0$ umzuwandeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze $R_{2}$ (Zeile $2$ ) mit der Zeilenoperation $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ , um einige Elemente in der Reihe in den gewünschten Wert $0$ umzuwandeln.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ - 3 \cdot R_{1} + R_{2} & - 3 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Ersetze $R_{2}$ (Zeile $2$ ) durch die tatsächlichen Werte der Elemente für die Zeilenoperation $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ (- 3) \cdot (1) + 3 & (- 3) \cdot (- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}) - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Vereinfache $R_{2}$ (Zeile $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 0 & 0 \end{array}]$

Step 13

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x_{1} - \frac{(3 + \sqrt{33}) x_{2}}{6} = 0$

Step 14

Dieser Ausdruck ist die Lösungsmenge für das Gleichungssystem.

${(\frac{(3 + \sqrt{33}) x_{2}}{6}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

Step 15

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{(3 + \sqrt{33}) x_{2}}{6} \\ x_{2} \end{array}]$

Step 16

Drücke den Vektor als eine Linearkombination von Spaltenvektoren unter Anwendung der Eigenschaften der Addition von Vektorspalten.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Step 17

Der Nullraum der Menge ist die Menge der Vektoren, die aus den freien Variablen des Systems erzeugt werden.

${[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Step 18

Der Eigenvektor für $λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ ist gleich dem Nullraum der Matrix minus dem Eigenwert mal der Einheitsmatrix.

$ε_{A} (\frac{5 - \sqrt{33}}{2}) = N (A - λ I_{2})$

Step 19

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]}$

Step 20

Vereinfache den Matrix-Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Multipliziere $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Stelle $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ um.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Stelle $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ um.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Stelle $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ um.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Stelle $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ um.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Vereinfache jedes Element der Matrix $[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache $4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Vereinfache $2 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Vereinfache $3 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Vereinfache $1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Step 21

Ermittle die normierte Zeilenstufenform der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Führe die Zeilenoperation $R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$ auf $R_{1}$ (Zeile $1$ ) aus, um einige Elemente in der Zeile in $1$ umzuwandeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze $R_{1}$ (Zeile $1$ ) mit der Zeilenoperation $R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$ , um einige Elemente in der Reihe in den gewünschten Wert $1$ umzuwandeln.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1} & - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1} \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Ersetze $R_{1}$ (Zeile $1$ ) durch die tatsächlichen Werte der Elemente für die Zeilenoperation $R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{3 - \sqrt{33}}{12}) \cdot (\frac{3 + \sqrt{33}}{2}) & (- \frac{3 - \sqrt{33}}{12}) \cdot (2) \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Vereinfache $R_{1}$ (Zeile $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Führe die Zeilenoperation $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ auf $R_{2}$ (Zeile $2$ ) aus, um einige Elemente in der Zeile in $0$ umzuwandeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze $R_{2}$ (Zeile $2$ ) mit der Zeilenoperation $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ , um einige Elemente in der Reihe in den gewünschten Wert $0$ umzuwandeln.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ - 3 \cdot R_{1} + R_{2} & - 3 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Ersetze $R_{2}$ (Zeile $2$ ) durch die tatsächlichen Werte der Elemente für die Zeilenoperation $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ (- 3) \cdot (1) + 3 & (- 3) \cdot (- \frac{3 - \sqrt{33}}{6}) - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Vereinfache $R_{2}$ (Zeile $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 0 & 0 \end{array}]$

Step 22

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x_{1} - \frac{(3 - \sqrt{33}) x_{2}}{6} = 0$

Step 23

Dieser Ausdruck ist die Lösungsmenge für das Gleichungssystem.

${(\frac{(3 - \sqrt{33}) x_{2}}{6}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

Step 24

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{(3 - \sqrt{33}) x_{2}}{6} \\ x_{2} \end{array}]$

Step 25

Drücke den Vektor als eine Linearkombination von Spaltenvektoren unter Anwendung der Eigenschaften der Addition von Vektorspalten.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Step 26

Der Nullraum der Menge ist die Menge der Vektoren, die aus den freien Variablen des Systems erzeugt werden.

${[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Step 27

Der Eigenraum von $A$ ist die Vereinigung des Vektorraums für jeden Eigenwert.

${[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]} \cup {[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Step 28