Algebra Beispiele

$2 \sin (x) \cos (y) = 1$

Step 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (2 \sin (x) \cos (y)) = \frac{d}{d y} (1)$

Step 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x) \cos (y)$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$2 \frac{d}{d y} [\sin (x) \cos (y)]$

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = \sin (x)$ und $g (y) = \cos (y)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d y} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d y} [\sin (x)])$

Die Ableitung von $\cos (y)$ nach $y$ ist $- \sin (y)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) \frac{d}{d y} [\sin (x)])$

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \sin (y)$ und $g (y) = x$ .

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Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]))$

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) (\cos (u) \frac{d}{d y} [x]))$

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) (\cos (x) \frac{d}{d y} [x]))$

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) \cos (x) x')$

Vereinfache.

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Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\sin (x) (- \sin (y))) + 2 (\cos (y) \cos (x) x')$

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (y) \cos (x) x'$

Stelle die Terme um.

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) \cos (y) x'$

Step 3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Step 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) \cos (y) x' = 0$

Step 5

Löse nach $x'$ auf.

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Vereinfache die linke Seite.

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Stelle die Faktoren in $- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) \cos (y) x'$ um.

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 x' \cos (x) \cos (y) = 0$

Addiere $2 \sin (x) \sin (y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x' \cos (x) \cos (y) = 2 \sin (x) \sin (y)$

Teile jeden Ausdruck in $2 x' \cos (x) \cos (y) = 2 \sin (x) \sin (y)$ durch $2 \cos (x) \cos (y)$ und vereinfache.

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Teile jeden Ausdruck in $2 x' \cos (x) \cos (y) = 2 \sin (x) \sin (y)$ durch $2 \cos (x) \cos (y)$ .

$\frac{2 x' \cos (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Vereinfache die linke Seite.

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Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x' \cos (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (y)$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Vereinfache die rechte Seite.

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Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Separiere Brüche.

$x' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$x' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \tan (x)$

Wandle von $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ nach $\tan (y)$ um.

$x' = \tan (y) \tan (x)$

Step 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \tan (y) \tan (x)$