Algebra Beispiele

$f (x) = \log_{4} (x)$

Step 1

Schreibe $f (x) = \log_{4} (x)$ als Gleichung.

$y = \log_{4} (x)$

Step 2

Vertausche die Variablen.

$x = \log_{4} (y)$

Step 3

Löse nach $y$ auf.

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Schreibe die Gleichung als $\log_{4} (y) = x$ um.

$\log_{4} (y) = x$

Schreibe $\log_{4} (y) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$4^{x} = y$

Schreibe die Gleichung als $y = 4^{x}$ um.

$y = 4^{x}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4^{x}$

Step 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 4^{x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \log_{4} (x)$ ist.

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Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Berechne $f^{- 1} (\log_{4} (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x)) = 4^{\log_{4} (x)}$

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\log_{4} (x)) = x$

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Berechne $f (4^{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (4^{x}) = \log_{4} (4^{x})$

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (4^{x}) = x \log_{4} (4)$

Die logarithmische Basis $4$ von $4$ ist $1$ .

$f (4^{x}) = x \cdot 1$

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (4^{x}) = x$

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 4^{x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \log_{4} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x}$