حساب المثلثات الأمثلة

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Step 1

بادِل المتغيرات.

$x = \cos^{2} (y) - \sin^{2} (y)$

Step 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = x$ .

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = x$

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) - x = 0$

طبّق متطابقة ضعف الزاوية لدالة جيب التمام.

$\cos (2 y) - x = 0$

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$\cos (2 y) = x$

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل جيب التمام.

$2 y = \arccos (x)$

اقسِم كل حد في $2 y = \arccos (x)$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $2 y = \arccos (x)$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\arccos (x)}{2}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$

Step 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ هي معكوس $f (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

احسِب قيمة $f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \frac{\arccos (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))}{2}$

طبّق متطابقة ضعف الزاوية لدالة جيب التمام.

$f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

احسِب قيمة $f (\frac{\arccos (x)}{2})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin^{2} (\frac{\arccos (x)}{2})$

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ و $b = \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

وسّع $(\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

جمّع الحدود المتعاكسة في $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ و $\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

أضف $- \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ و $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + 0 + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

أضف $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ و $0$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $\cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ارفع $\cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = {\cos (\frac{\arccos (x)}{2})}^{1 + 1} + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

أضف $1$ و $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$

اضرب $- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $\sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - (\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ارفع $\sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - (\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - {\sin (\frac{\arccos (x)}{2})}^{1 + 1}$

أضف $1$ و $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin^{2} (\frac{\arccos (x)}{2})$

طبّق متطابقة ضعف الزاوية لدالة جيب التمام.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\arccos (x))$

تُعد دالتا جيب التمام وقوس جيب التمام دالتين متعاكستين.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = x$

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ هي معكوس $f (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$