ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{2} + 5$

Step 1

اكتب $f (x) = 2 x^{2} + 5$ في صورة معادلة.

$y = 2 x^{2} + 5$

Step 2

بادِل المتغيرات.

$x = 2 y^{2} + 5$

Step 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 y^{2} + 5 = x$ .

$2 y^{2} + 5 = x$

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$2 y^{2} = x - 5$

اقسِم كل حد في $2 y^{2} = x - 5$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $2 y^{2} = x - 5$ على $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

خُذ الجذر التربيعي لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} - \frac{5}{2}}$

بسّط $\pm \sqrt{\frac{x}{2} - \frac{5}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 5}{2}}$

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{x - 5}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$

اضرب $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2}$

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 2}}{2}$

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ هي معكوس $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = 2 x^{2} + 5$ و $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ وقارن بينهما.

أوجِد مدى $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[5, \infty)$

أوجِد نطاق $\frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{2 (x - 5)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$2 (x - 5) \geq 0$

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $2 (x - 5) \geq 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $2 (x - 5) \geq 0$ على $2$ .

$\frac{2 (x - 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x - 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

اقسِم $x - 5$ على $1$ .

$x - 5 \geq \frac{0}{2}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $0$ على $2$ .

$x - 5 \geq 0$

أضِف $5$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$x \geq 5$

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[5, \infty)$

أوجِد نطاق $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

$(- \infty, \infty)$

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ هو مدى $f (x) = 2 x^{2} + 5$ ومدى $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ هو نطاق $f (x) = 2 x^{2} + 5$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ هي معكوس $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 6