حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بـ $a_{n}$ و $a_{n + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{\frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}}}{\frac{2^{n}}{3^{n}}}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$r = \frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}} \cdot \frac{3^{n}}{2^{n}}$

اجمع.

$r = \frac{2^{n + 1} \cdot 3^{n}}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

احذِف العامل المشترك لـ $2^{n + 1}$ و $2^{n}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $2^{n}$ من $2^{n + 1} \cdot 3^{n}$ .

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $2^{n}$ من $3^{n + 1} \cdot 2^{n}$ .

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{2 \cdot 3^{n}}{3^{n + 1}}$

احذِف العامل المشترك لـ $3^{n}$ و $3^{n + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $3^{n + 1}$ من $2 \cdot 3^{n}$ .

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1}}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب في $1$ .

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{2 \cdot 3^{n - (n + 1)}}{1}$

اقسِم $2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$ على $1$ .

$r = 2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق خاصية التوزيع.

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1 \cdot 1}$

اضرب $- 1$ في $1$ .

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1}$

اطرح $n$ من $n$ .

$r = 2 \cdot 3^{0 - 1}$

اطرح $1$ من $0$ .

$r = 2 \cdot 3^{- 1}$

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = 2 \cdot \frac{1}{3}$

اجمع $2$ و $\frac{1}{3}$ .

$r = \frac{2}{3}$

خطوة 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

خطوة 4

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بـ $1$ عن $n$ في $\frac{2^{n}}{3^{n}}$ .

$a = \frac{2^{1}}{3^{1}}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة الأُس.

$a = \frac{2}{3^{1}}$

احسِب قيمة الأُس.

$a = \frac{2}{3}$

خطوة 5

عوّض بقيم النسبة والحد الأول في قاعدة المجموع.

$\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}}$

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 2}{3}}$

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{2}{3} (1 \cdot 3)$

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $3$ من $1 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

أعِد كتابة العبارة.

$2$