حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} + 1$ , $y = x + 3$

Step 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} + 1 = x + 3$

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 1 = x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + 1 - x = 3$

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + 1 - x - 3 = 0$

اطرح $3$ من $1$ .

$x^{2} - x - 2 = 0$

حلّل $x^{2} - x - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $- 1$ .

$- 2, 1 + y = x + 3$

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x + 3$

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 2) (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 2, - 1$

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$y = (2) + 3$

عوّض بـ $2$ عن $x$ في $y = (2) + 3$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احذِف الأقواس.

$y = 2 + 3$

احذِف الأقواس.

$y = (2) + 3$

أضف $2$ و $3$ .

$y = 5$

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ .

$y = (- 1) + 3$

عوّض بـ $- 1$ عن $x$ في $y = (- 1) + 3$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احذِف الأقواس.

$y = - 1 + 3$

احذِف الأقواس.

$y = (- 1) + 3$

أضف $- 1$ و $3$ .

$y = 2$

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(2, 5)$

$(- 1, 2)$

$(2, 5)$

$(- 1, 2)$

Step 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} x + 3 d x - \int_{- 1}^{2} x^{2} + 1 d x$

Step 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 1$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 1}^{2} x + 3 - (x^{2} + 1) d x$

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق خاصية التوزيع.

$x + 3 - x^{2} - 1 \cdot 1$

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x + 3 - x^{2} - 1$

$\int_{- 1}^{2} x + 3 - x^{2} - 1 d x$

اطرح $1$ من $3$ .

$\int_{- 1}^{2} x - x^{2} + 2 d x$

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 x]_{- 1}^{2}$

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}$ و $2 x]_{- 1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2})$

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ في $2$ وفي $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2})$

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $2$ وفي $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{4}{2} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

اضرب $2$ في $2$ .

$2 + 4 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

أضف $2$ و $4$ .

$6 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$6 - (\frac{1}{2} \cdot 1 + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$6 - (\frac{1}{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

اضرب $2$ في $- 1$ .

$6 - (\frac{1}{2} - 2) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$6 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{2}$ .

$6 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$6 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 2$ في $2$ .

$6 - \frac{1 - 4}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

اطرح $4$ من $1$ .

$6 - \frac{- 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 - - \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$6 + 1 (\frac{3}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

اضرب $\frac{3}{2}$ في $1$ .

$6 + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

لكتابة $6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

اجمع $6$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{6 \cdot 2 + 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{12 + 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

أضف $12$ و $3$ .

$\frac{15}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3})$

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - - \frac{1}{3})$

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{15}{2} - \frac{8 + 1}{3}$

أضف $8$ و $1$ .

$\frac{15}{2} - \frac{9}{3}$

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{15}{2} - \frac{3}{1}$

اقسِم $3$ على $1$ .

$\frac{15}{2} - 1 \cdot 3$

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{15}{2} - 3$

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

اجمع $- 3$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{15 - 3 \cdot 2}{2}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 3$ في $2$ .

$\frac{15 - 6}{2}$

اطرح $6$ من $15$ .

$\frac{9}{2}$

Step 4