حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{6^{n}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بـ $a_{n}$ و $a_{n + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{\frac{1}{6^{n + 1}}}{\frac{1}{6^{n}}}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$r = \frac{1}{6^{n + 1}} \cdot 6^{n}$

اجمع $\frac{1}{6^{n + 1}}$ و $6^{n}$ .

$r = \frac{6^{n}}{6^{n + 1}}$

احذِف العامل المشترك لـ $6^{n}$ و $6^{n + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $6^{n + 1}$ من $6^{n}$ .

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1}}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب في $1$ .

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{6^{n - (n + 1)}}{1}$

اقسِم $6^{n - (n + 1)}$ على $1$ .

$r = 6^{n - (n + 1)}$

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق خاصية التوزيع.

$r = 6^{n - n - 1 \cdot 1}$

اضرب $- 1$ في $1$ .

$r = 6^{n - n - 1}$

اطرح $n$ من $n$ .

$r = 6^{0 - 1}$

اطرح $1$ من $0$ .

$r = 6^{- 1}$

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{6}$

خطوة 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

خطوة 4

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بـ $0$ عن $n$ في $\frac{1}{6^{n}}$ .

$a = \frac{1}{6^{0}}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

اقسِم $1$ على $1$ .

$a = 1$

خطوة 5

عوّض بقيم النسبة والحد الأول في قاعدة المجموع.

$\frac{1}{1 - \frac{1}{6}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{\frac{6}{6} - \frac{1}{6}}$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{\frac{6 - 1}{6}}$

اطرح $1$ من $6$ .

$\frac{1}{\frac{5}{6}}$

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$1 (\frac{6}{5})$

اضرب $\frac{6}{5}$ في $1$ .

$\frac{6}{5}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{6}{5}$

الصيغة العشرية:

$1.2$

صيغة العدد الذي به كسر:

$1 \frac{1}{5}$